Спираль Галилея

Спираль Галилея — плоская трансцендентная кривая, уравнение которой в полярных координатах имеет вид:

$\rho =\alpha \varphi ^{2}-d,$ где $d\geqslant 0.$

Спираль Галилея можно представить как траекторию точки, равноускоренно движущейся по прямой, причём эта прямая равномерно вращается вокруг некоторой своей точки. Таким образом, уравнение можно переписать в обычных физических обозначениях:

${\begin{cases}\rho ={\frac {1}{2}}at^{2}+v_{0}t+\rho _{0}\\\theta =\omega t\end{cases}}$

После поворота системы координат это уравнение можно привести к стандартному виду $\rho =\alpha \varphi ^{2}-d.$

Кривая симметрична относительно полярной оси, в полюсе — двойная точка, касательные к которой образуют углы с полярной осью $\pm {\sqrt {d/a}}.$ На полярной оси расположено бесконечно много двойных точек, они находятся на расстояниях $\rho =\alpha k^{2}\pi ^{2}-d$ (где $k=1,2,3,...$) от центра.

Уравнение криволинейных абсцисс: $ds={\sqrt {a^{2}+2b(a+2b)\theta ^{2}+b^{2}\theta ^{4}d\theta }}$

Названа в честь Г. Галилея в связи с его работами по теории свободного падения тел. Действительно, если учитывать вращение Земли, то траектория камня, падающего с башни — это спираль Галилея.

Литература

• Прохоров Ю. В. «Математический энциклопедический словарь», М.: Советская энциклопедия, 1988.